Tránsito de crecidas en embalses y cauces: métodos de Puls y Muskingum

El tránsito de crecidas calcula cómo cambia un hidrograma al pasar por un embalse o por un tramo de río. El almacenamiento temporal de agua reduce el caudal máximo (atenuación) y lo desplaza en el tiempo (retardo). El método de Puls modificado resuelve el caso de los embalses y el de Muskingum, el de los cauces; ambos combinan la ecuación de continuidad con una relación entre almacenamiento y caudal.

Definición y usos

Un hidrograma de crecida que entra a un embalse no sale igual: parte del volumen queda retenido sobre la cresta del vertedero mientras sube el nivel y se libera en la recesión. En un río, el cauce y sus planicies almacenan agua mientras la onda avanza. El tránsito entrega el hidrograma de salida completo y se usa para:

• dimensionar vertederos, fijar el nivel máximo y la revancha con la crecida de diseño de cierto período de retorno;
• diseñar estanques de retención y verificar el agua represada por terraplenes viales en alcantarillas (McCuen et al., 2002);
• obtener el caudal que llega a puentes, defensas y zonas de inundación aguas abajo;
• propagar una crecida medida aguas arriba hasta una localidad para pronosticar su llegada.

Tránsito hidrológico y tránsito hidráulico

El tránsito hidráulico resuelve las ecuaciones de Saint-Venant, de continuidad y de cantidad de movimiento, a lo largo del cauce. La versión completa, u onda dinámica, es la única que representa el remanso de controles aguas abajo (McCuen et al., 2002). Dos simplificaciones usuales son:

• Onda cinemática: desprecia la inercia y el gradiente de presión, de modo que $S_f = S_0$. La onda se traslada sin atenuarse con celeridad $c = dQ/dA$; sirve en cauces de pendiente fuerte sin control aguas abajo.
• Onda difusiva: agrega un término de difusión y conduce a la ecuación de convección-difusión $\partial Q/\partial t + c\,\partial Q/\partial x = \mu\,\partial^2 Q/\partial x^2$, con $\mu$ la difusividad hidráulica (m²/s), que sí atenúa el pico.

El tránsito hidrológico aplica la continuidad al tramo o embalse completo y reemplaza la ecuación de cantidad de movimiento por una relación almacenamiento–caudal. No entrega niveles a lo largo del cauce, pero exige pocos datos. Puls modificado y Muskingum son hidrológicos; Muskingum-Cunge es híbrido, porque calcula sus parámetros con propiedades hidráulicas del cauce.

Ecuación de continuidad del almacenamiento

Sin aportes laterales, el volumen almacenado varía según la diferencia entre entrada y salida:

con $S$ el almacenamiento (m³), $I$ y $O$ los caudales de entrada y de salida (m³/s) y $t$ el tiempo (s). Al promediar los caudales al inicio (subíndice 1) y al final (subíndice 2) de un intervalo $\Delta t$:

Las incógnitas son $S_2$ y $O_2$, por lo que falta una segunda relación entre almacenamiento y caudal; cada método la plantea de manera distinta.

Método de Puls modificado

El método de Puls modificado, también llamado de nivel de piscina (level-pool) o de indicación de almacenamiento, supone que la superficie del embalse es horizontal. El nivel $h$ define entonces el volumen $S(h)$ y la descarga $O(h)$, de modo que existe una función única entre almacenamiento y salida. Se preparan tres curvas:

1. Elevación–volumen $S(h)$, integrando el área de espejo obtenida de la topografía del vaso.
2. Elevación–descarga $O(h)$, que suma la ley del vertedero, del tipo $O = C\,L\,H^{3/2}$ tratado en vertederos, y las descargas de fondo, que funcionan como orificios.
3. Indicación de almacenamiento $2S/\Delta t + O$ para cada elevación.

Al multiplicar la continuidad discreta por 2 y dejar las incógnitas a la izquierda resulta:

con todos los términos en m³/s. HEC-HMS y McCuen et al. (2002) usan la forma equivalente $S/\Delta t + O/2$. En cada paso se calcula el lado derecho, se interpolan $h_2$ y $O_2$ en la tabla y se obtiene el término del paso siguiente sin volver a ella: $2S_2/\Delta t - O_2 = (2S_2/\Delta t + O_2) - 2\,O_2$.

McCuen et al. (2002) exigen dos condiciones sobre $\Delta t$: $\Delta O/2 \le \Delta S/\Delta t$ en todo el rango, para evitar inestabilidad numérica, lo que equivale a que la pendiente de $O$ frente a $S/\Delta t + O/2$ sea menor que 1; y $\Delta t \lt 0{,}2\,t_p$, con $t_p$ el tiempo al pico de la entrada.

La hipótesis de nivel horizontal falla en embalses largos y angostos y en cauces. Aun así, HEC-HMS aplica Puls modificado a tramos de río con una relación almacenamiento–caudal obtenida de perfiles de flujo permanente y un número de subtramos calibrable.

Ejemplo resuelto: embalse con vertedero libre

Datos ilustrativos. Espejo de 1,2 km² a la cota de la cresta, que crece 0,25 km² por metro; vertedero libre de $L$ = 30 m con coeficiente supuesto $C$ = 2,0 m^1/2/s; sin descarga de fondo; $\Delta t$ = 3.600 s. Con $h$ la carga sobre la cresta (m), $S$ en m³ y $O$ en m³/s:

Condición inicial. Descarga permanente de 10 m³/s, con $h_0 = (10/60)^{2/3}$ = 0,30 m y $2S_0/\Delta t - O_0$ = 198,3 m³/s. En la primera hora, $2S_2/\Delta t + O_2$ = 10 + 25 + 198,3 = 233,3 m³/s; interpolando, $O_2$ = 11,4 m³/s, y el término siguiente es 210,5 m³/s:

Resultado. El pico de 160 m³/s a las 6 h sale como 100,9 m³/s a las 9 h: 37 % de atenuación y 3 h de retardo, con una carga máxima de 1,41 m. El pico de salida cae en la rama descendente, donde los hidrogramas se cruzan: con vertedero libre, la salida es máxima cuando lo es el almacenamiento, y eso ocurre cuando la salida iguala a la entrada.

Verificaciones. La pendiente máxima de $O$ frente a $S/\Delta t + O/2$ es 0,24, y $\Delta t$ = 1 h es menor que $0{,}2\,t_p$ = 1,2 h. Resolver con una malla de 0,00001 m cambia el pico en menos de 0,1 m³/s, y con $\Delta t$ = 0,5 h el pico resulta 101,3 m³/s.

Método de Muskingum

En un tramo de río, durante la subida la entrada supera a la salida y el agua forma una cuña sobre el almacenamiento prismático; en la recesión, la cuña se invierte. Muskingum lo representa con una ponderación lineal de entrada y salida:

donde $K$ es una constante con unidades de tiempo, cercana al tiempo de viaje de la onda por el tramo, y $x$ un factor adimensional entre 0 y 0,5. Con $x$ = 0 el tramo es un embalse lineal ($S = K\,O$) y la atenuación es máxima; con $x$ = 0,5 la onda se traslada sin atenuarse, y valores mayores amplificarían el pico. Al combinarla con la continuidad discreta:

con $K$ y $\Delta t$ en las mismas unidades. Los coeficientes suman 1. De sus expresiones se deduce que $C_0 \ge 0$ exige $\Delta t \ge 2Kx$ y que $C_2 \ge 0$ exige $\Delta t \le 2K(1-x)$; un coeficiente negativo produce caídas u oscilaciones espurias. McCuen et al. (2002) piden además que $\Delta t$ sea menor que el tiempo de viaje, para que la cresta no cruce el tramo en un solo intervalo. HEC-HMS divide el tramo en subtramos, con $K/\Delta t$ como estimación inicial de su número; más subtramos implican menos atenuación.

Estimación de K y x con hidrogramas observados

Con hidrogramas medidos en ambos extremos del tramo, por ejemplo mediante aforo, el procedimiento de McCuen et al. (2002) es:

1. Calcular el almacenamiento acumulado: $S_2 = S_1 + \Delta t\,[(I_1 + I_2)/2 - (O_1 + O_2)/2]$, con $S$ = 0 al inicio.
2. Con un $x$ de prueba, graficar $S$ frente a $x\,I + (1 - x)\,O$; los puntos forman un lazo.
3. Cambiar $x$ hasta que el lazo se cierre lo más posible en torno a una recta. Ese es el $x$ estimado, y la pendiente de la recta es $K$.

Los parámetros valen solo para el tramo calibrado. Sin datos, $K$ se estima como el tiempo de viaje $L/c$, con $L$ la longitud del tramo; en un cauce ancho con la ecuación de Manning, $c = 5V/3$, con $V$ la velocidad media. Para $x$ suele adoptarse entre 0,2 y 0,3 (McCuen et al., 2002), y la guía de HEC-HMS parte de 0,25 antes de calibrar. Aplicado por mínimos cuadrados a los hidrogramas del ejemplo siguiente, el procedimiento da $R^2$ = 1,000 con $x$ = 0,2 y $K$ = 4,00 h, y $R^2$ = 0,995 con $x$ = 0,1 o 0,3.

Ejemplo resuelto: tramo de cauce

Datos ilustrativos. $K$ = 4 h, $x$ = 0,2 y $\Delta t$ = 2 h, sin aportes laterales. El denominador es $2K(1-x) + \Delta t$ = 8,4 h:

La suma es 1 y $\Delta t$ cumple $2Kx$ = 1,6 h $\le \Delta t \le 2K(1-x)$ = 6,4 h; con $\Delta t$ = 1 h, $C_0$ valdría −0,081. La salida inicial se toma igual a la entrada:

Resultado. El pico de 270 m³/s a las 12 h llega como 232,4 m³/s a las 16 h: 14 % de atenuación y 4 h de retardo, del orden de $K$ y resuelto en múltiplos de $\Delta t$. La atenuación es menor que en el embalse porque $x$ = 0,2 da peso a la entrada y $K$ es corto frente a la duración de la crecida.

Método de Muskingum-Cunge

Cunge (1969) mostró que el esquema de Muskingum aproxima en diferencias finitas una ecuación de convección-difusión, y que su difusión numérica puede igualarse a la difusión física de la onda. Así, los parámetros se calculan con la geometría y la curva de descarga del cauce. HEC-HMS usa:

con $\Delta x$ el paso de distancia (m), $c$ la celeridad (m/s), $Q$ el caudal de referencia (m³/s), $B$ el ancho superficial (m) y $S_0$ la pendiente (m/m), y recalcula los coeficientes en cada paso. McCuen et al. (2002) recomiendan $\Delta t \lt 0{,}2\,t_p$ y menor que el tiempo de viaje, y un $\Delta x$ con número de Courant $c\,\Delta t/\Delta x$ igual o algo menor que 1. Sirve en cauces sin aforo, pero no representa remanso.

Elección del método

El hidrograma de entrada suele provenir de un hidrograma unitario aplicado a la lluvia de diseño.

Errores frecuentes

• Usar un intervalo grueso: con pocos pasos en la subida, el nivel máximo queda mal estimado. Conviene $\Delta t \lt 0{,}2\,t_p$ y repetir con la mitad del intervalo.
• Partir con el embalse bajo la cresta: para dimensionar el vertedero, la crecida debe llegar con el embalse en su nivel de operación máximo.
• Mezclar unidades: con $S$ en m³, $\Delta t$ va en segundos; con $K$ en horas, $\Delta t$ también.
• Revisar solo la suma de los coeficientes: con $\Delta t \lt 2Kx$ suman 1, pero $C_0$ es negativo.
• Adoptar $x$ mayor que 0,5 o extrapolar $K$ y $x$ a otro tramo.
• Suponer nivel horizontal en un embalse largo y angosto, o aplicar Muskingum a un tramo con remanso.
• Omitir las descargas de fondo abiertas durante la crecida en la curva elevación–descarga.

Preguntas frecuentes

Fuentes

• Cunge, J. A. (1969). On the subject of a flood propagation computation method (Muskingum method). Journal of Hydraulic Research, 7(2), 205–230. doi.org
• Hydrologic Engineering Center (s. f.). Modified Puls model. HEC-HMS Technical Reference Manual. U.S. Army Corps of Engineers. hec.usace.army.mil
• Hydrologic Engineering Center (s. f.). Muskingum model. HEC-HMS Technical Reference Manual. U.S. Army Corps of Engineers. hec.usace.army.mil
• Hydrologic Engineering Center (s. f.). Muskingum-Cunge model. HEC-HMS Technical Reference Manual. U.S. Army Corps of Engineers. hec.usace.army.mil
• Hydrologic Engineering Center (s. f.). Applying the Muskingum routing method. HEC-HMS User Guides. U.S. Army Corps of Engineers. hec.usace.army.mil
• McCuen, R. H., Johnson, P. A. y Ragan, R. M. (2002). Highway hydrology (Hydraulic Design Series N.º 2, 2.ª ed., FHWA-NHI-02-001). Federal Highway Administration. fhwa.dot.gov