Curvas IDF: construcción, ecuaciones y uso en el diseño hidrológico

Pablo RojasActualizado el 14 de septiembre de 202613 min de lectura

En este artículo

Definición y lectura de una curva IDF
Datos de partida
Construcción paso a paso con Gumbel
Ecuaciones IDF y ajuste por regresión
Ejemplo resuelto con datos ilustrativos
Coeficientes de duración y frecuencia con datos diarios
Uso en el método racional y en hietogramas de diseño
Limitaciones
Errores frecuentes
Preguntas frecuentes
Fuentes

Gráfico de curvas IDF de intensidad de lluvia frente a duración para varios periodos de retorno

Una curva IDF (intensidad-duración-frecuencia) indica la intensidad media máxima de lluvia esperable en un punto para cada duración y cada período de retorno. Resume en un gráfico o en una ecuación el análisis de frecuencia de un pluviógrafo y entrega la intensidad de diseño de obras de drenaje.

Definición y lectura de una curva IDF

Una familia de curvas IDF relaciona tres variables de la precipitación en un punto:

Intensidad ( $i$ , mm/h): intensidad media del intervalo más lluvioso de cierta duración, no la intensidad instantánea.
Duración ( $t$ , min o h): ventana sobre la que se promedia la lluvia; no es la duración total de la tormenta.
Frecuencia: se expresa como período de retorno $T$ , en años, el inverso de la probabilidad anual de excedencia.

El gráfico lleva la duración en el eje horizontal y la intensidad en el vertical, con una curva por período de retorno. La intensidad baja al aumentar la duración, porque los chubascos más intensos duran poco, y las curvas de mayor $T$ quedan por encima. Se lee entrando con la duración de diseño hasta la curva del período elegido. Si la curva de 10 años marca 38 mm/h para 40 min, esa intensidad media tiene una probabilidad de 10 % de igualarse o superarse en cualquier año.

Datos de partida

El insumo son registros pluviográficos. De cada año se extrae la lluvia más intensa de cada duración, y con esos valores se forma una serie de máximos anuales por duración, cuyos datos pueden provenir de tormentas distintas.

Instrumento: pluviógrafo o pluviómetro de balancín con registro continuo. Una lectura diaria no permite obtener máximos de 15 min o de 1 h.
Duraciones: suelen ir de 5 o 10 min a 24 h. Pizarro et al. (2007) usaron 1, 2, 6, 12 y 24 h en la zona centro sur de Chile.
Intensidad: $i = 60\,P/t$ , con $P$ en mm y $t$ en minutos.
Intervalos fijos: los totales por hora de reloj o por día de observación subestiman el máximo real. NOAA Atlas 14 (volumen 9) los corrige con factores de 1,09 para 1 h, 1,04 para 2 h y 1,12 para 1 día.

La serie de duración parcial, con todos los eventos sobre un umbral, da estimaciones casi iguales sobre 10 a 15 años de período de retorno, pero distintas en 5 años o menos (HDSC de NOAA).

Construcción paso a paso con Gumbel

Extraer las series de máximos anuales y convertirlas a intensidad.
Calcular la media $\bar{x}$ y la desviación estándar muestral $s$ de cada serie.
Ajustar una distribución de extremos. En Latinoamérica se usa sobre todo Gumbel; NOAA Atlas 14 (volumen 9) adoptó la distribución generalizada de valores extremos (GEV), con L-momentos regionales, porque dio un ajuste aceptable con más frecuencia que las otras.
Verificar el ajuste y calcular las intensidades para los períodos de retorno de interés.
Ajustar una ecuación a toda la familia de curvas.

La función de distribución de Gumbel es:

F(x) = \exp\left[-\exp\left(-\frac{x-u}{\alpha}\right)\right]

con $x$ la intensidad (mm/h) y $u$ y $\alpha$ los parámetros de posición y de escala (mm/h). Por el método de momentos:

\alpha = \frac{\sqrt{6}}{\pi}\,s = 0{,}7797\,s \qquad u = \bar{x} - 0{,}5772\,\alpha = \bar{x} - 0{,}4500\,s

Como $F(x_T) = 1 - 1/T$ , la intensidad de período de retorno $T$ se escribe con el factor de frecuencia $K_T$ :

x_T = \bar{x} + K_T\,s \qquad K_T = -\frac{\sqrt{6}}{\pi}\left[0{,}5772 + \ln\left(\ln\frac{T}{T-1}\right)\right]

Para $T$ = 2, 10 y 50 años, $K_T$ vale −0,1643, 1,3046 y 2,5923. El método se detalla en el capítulo de análisis de frecuencia con Gumbel. En la prueba de Kolmogorov–Smirnov, Pizarro et al. (2007) comparan la frecuencia empírica de Weibull $F_n = m/(N+1)$ , con $m$ el número de orden y $N$ el total de datos, con la de Gumbel, contra el valor crítico al 95 %.

Ecuaciones IDF y ajuste por regresión

La forma general usada en este capítulo es:

i = \frac{K\,T^{m}}{(t + c)^{n}}

con $i$ en mm/h, $T$ en años, $t$ y $c$ en minutos y $K$ , $m$ y $n$ parámetros propios de la estación. Con $c$ = 0 queda $i = K\,T^m/t^n$ , la forma del manual del MTC del Perú y de Pizarro et al. (2007). Al tomar logaritmos, la ecuación queda lineal para un $c$ fijo:

\ln i = \ln K + m\,\ln T - n\,\ln(t + c)

Se ajusta por regresión lineal múltiple sobre todos los pares de período de retorno y duración, y $c$ se busca por tanteo minimizando la suma de cuadrados de los residuos. La altura se obtiene como $P = i\,t/60$ .

Forma	Expresión	Parámetros	Referencia
Con desplazamiento	$i = K\,T^{m}/(t+c)^{n}$	$K$ , $m$ , $n$ , $c$	Pizarro et al. (2007)
Sin desplazamiento	$i = K\,T^{m}/t^{n}$	$K$ , $m$ , $n$	MTC; Pizarro et al. (2007)
Una ecuación por período de retorno	$i = a/(t+b)^{e}$	$a$ , $b$ , $e$ para cada $T$	MTC; Nhat et al. (2006)
Regional para Colombia	$i = a\,T^{b}\,M^{d}/t^{c}$	$a$ , $b$ , $c$ , $d$ por región	Vargas (1998), en Echeverry (2004)

Ejemplo resuelto con datos ilustrativos

Datos ilustrativos: la serie no corresponde a ninguna estación real; se generó para mostrar el procedimiento. Son 20 años de alturas máximas anuales para 15, 60 y 180 min.

Año	$P_{15}$ (mm)	$P_{60}$ (mm)	$P_{180}$ (mm)
1	9,5	16,9	32,2
2	12,6	23,2	34,4
3	9,6	17,9	26,8
4	11,0	25,3	28,0
5	17,7	32,8	53,0
6	8,3	12,8	16,7
7	8,8	20,5	30,7
8	10,3	16,7	28,2
9	17,5	33,5	51,1
10	12,9	25,8	35,6
11	13,8	27,2	32,1
12	7,5	14,0	20,5
13	10,5	24,6	27,5
14	10,5	13,5	25,1
15	12,9	25,7	38,2
16	16,4	28,3	40,8
17	12,8	21,8	28,1
18	18,2	35,0	56,0
19	9,4	19,4	24,6
20	11,2	22,6	29,9

Paso 1. Ajuste de Gumbel por duración. Con $i = 60\,P/t$ se obtienen las intensidades, sus estadísticos, los parámetros de Gumbel y la diferencia máxima $D$ de Kolmogorov–Smirnov:

Duración (min)	$\bar{x}$ (mm/h)	$s$ (mm/h)	$\alpha$ (mm/h)	$u$ (mm/h)	$D$
15	48,28	12,92	10,1	42,5	0,095
60	22,88	6,56	5,1	19,9	0,101
180	10,99	3,48	2,7	9,4	0,084

El valor crítico para $N$ = 20 y 5 % de significancia es 0,294, así que se acepta Gumbel en las tres duraciones.

Paso 2. Intensidades por período de retorno. Para 15 min y 10 años: $i = 48{,}28 + 1{,}3046 \times 12{,}92 = 65{,}1$ mm/h, que equivale a 16,3 mm.

$T$ (años)	$K_T$	$i_{15}$ (mm/h)	$i_{60}$ (mm/h)	$i_{180}$ (mm/h)
2	−0,1643	46,2	21,8	10,4
10	1,3046	65,1	31,4	15,5
50	2,5923	81,8	39,9	20,0

Con 20 años de registro, el valor de 50 años es una extrapolación: la frecuencia empírica de Weibull solo llega a 21 años.

Paso 3. Ajuste de la ecuación. Con los nueve valores se probó $c$ entre 0 y 60 min, cada 0,1 min. El mínimo de la suma de cuadrados se da en $c$ = 10,1 min, con $R^2$ = 0,997 en logaritmos:

i = \frac{403{,}2\;T^{0{,}189}}{(t + 10{,}1)^{0{,}713}}

La ecuación reproduce las nueve intensidades de Gumbel con diferencias entre −4,8 % y 4,6 %. Sin desplazamiento resulta $i = 198{,}4\,T^{0{,}189}/t^{0{,}579}$ , con $R^2$ = 0,994 y un error máximo de 8,7 %.

Paso 4. Duración intermedia. Para una cuenca con tiempo de concentración de 40 min y $T$ = 10 años:

i = \frac{403{,}2 \times 10^{0{,}189}}{(40 + 10{,}1)^{0{,}713}} = \frac{403{,}2 \times 1{,}545}{16{,}29} = 38{,}2\ \text{mm/h}

La altura es $38{,}2 \times 40/60 = 25{,}5$ mm. La interpolación logarítmica entre 15 y 60 min da 38,9 mm/h, y la forma sin desplazamiento, 36,3 mm/h: la forma elegida mueve la intensidad de diseño en torno a 5 %.

Coeficientes de duración y frecuencia con datos diarios

Donde solo hay pluviómetros diarios, las lluvias cortas se estiman como fracciones de una lluvia de referencia, con coeficientes de duración y de frecuencia obtenidos en estaciones con pluviógrafo.

Relaciones de Bell

Bell (1969) observó que las razones entre lluvias de distinta duración, y entre períodos de retorno, varían poco entre regiones, porque las mayores intensidades provienen de tormentas convectivas. Según la transcripción de Nhat et al. (2006):

\frac{P_t^T}{P_{60}^T} = 0{,}54\,t^{0{,}25} - 0{,}50 \qquad \frac{P_t^T}{P_t^{10}} = 0{,}21\,\ln T + 0{,}52

con $P_t^T$ la altura (mm) de duración $t$ (min) y período de retorno $T$ (años); la primera vale entre 5 y 120 min y la segunda entre 2 y 100 años. Juntas estiman cualquier altura a partir de la lluvia de 1 h y 10 años.

Chile

Espíldora (1971) y Varas y Sánchez (1983) generalizaron estos coeficientes para Chile; los segundos, con pluviógrafos de 13 estaciones entre La Serena y Puerto Montt (Pizarro et al., 2007). El manual de aguas lluvias del SERVIU Metropolitano los aplica en Santiago:

P_D^T = C \cdot CF_T \cdot CD_D \cdot P_D^{10}

donde $P_D^T$ es la lluvia (mm) de duración $D$ y período de retorno $T$ , $P_D^{10}$ la lluvia diaria de 10 años de las isoyetas de la DGA, $CF_T$ y $CD_D$ los coeficientes de frecuencia y de duración, y $C$ el paso de lluvia diaria a máxima de 24 horas, igual a 1,0 en Santiago según el Plan Maestro.

$T$ (años)	2	5	10	20	50	100	200
$CF_T$	0,64	0,86	1,00	1,14	1,32	1,45	1,59

Duración	1 h	2 h	6 h	12 h	24 h
$CD_D$ , $T$ de 2 y 5 años	0,19	0,30	0,60	0,82	1,00
$CD_D$ , $T$ de 10 años o más	0,17	0,26	0,53	0,77	1,00

Bajo 1 h, la lluvia de 1 h se multiplica por 0,57 para 15 min, 0,79 para 30 min y 0,87 para 40 min. Con $P_D^{10}$ = 60 mm (valor ilustrativo), la lluvia de 1 h y 10 años es $0{,}17 \times 60 = 10{,}2$ mm, y la de 30 min, $0{,}79 \times 10{,}2 = 8{,}1$ mm, es decir 16,1 mm/h. Bell da razones parecidas: 0,764 para 30 min y 1,487 para pasar de 10 a 100 años, frente a 0,79 y 1,45.

Perú y Colombia

El manual del MTC da coeficientes de duración respecto de la lluvia máxima en 24 horas (0,25 para 1 h, 0,56 para 6 h y 0,79 para 12 h), para usar con cautela a falta de mejor información, y para menos de 1 h propone la relación de Dyck y Peschke:

P_d = P_{24h}\left(\frac{d}{1440}\right)^{0{,}25}

con $d$ en minutos y las alturas en mm. En Colombia, Vargas (1998) regionalizó 165 estaciones y propuso $i = a\,T^{b}\,M^{d}/t^{c}$ , con $t$ en horas y $M$ la precipitación máxima diaria anual (mm); en la región Andina, $a$ = 0,94, $b$ = 0,18, $c$ = 0,66 y $d$ = 0,83 (Echeverry, 2004).

La lluvia de 1 h equivale a 0,17 de la de 24 h en Santiago, a 0,25 en la tabla del MTC y a 0,45 con Dyck y Peschke: ningún coeficiente es universal.

Uso en el método racional y en hietogramas de diseño

Método racional

La fórmula racional entra a la curva IDF con una duración igual al tiempo de concentración:

Q = \frac{C\,i\,A}{3{,}6}

con $Q$ en m³/s, $C$ el coeficiente de escorrentía, $i$ en mm/h y $A$ en km². El SERVIU Metropolitano la limita a cuencas menores de 50 ha, homogéneas, mayoritariamente impermeables y con tiempo de concentración menor de 1 h. Con $C$ = 0,55, $A$ = 0,30 km² e $i$ = 38,2 mm/h resulta $Q$ = 1,75 m³/s. Su uso en redes se trata en drenaje pluvial urbano.

Hietograma de bloques alternos

Para distribuir en el tiempo la lluvia de diseño, el método de bloques alternos, de Chow, Maidment y Mays y recogido por el MTC, lee la intensidad para $\Delta t$ , $2\Delta t$ , $3\Delta t$ , etc., calcula las alturas acumuladas y sus incrementos, ubica el mayor en el centro y ordena los demás de mayor a menor, alternando a la derecha y a la izquierda. Con la ecuación del ejemplo, $T$ = 10 años, 60 min y $\Delta t$ = 10 min:

Duración (min)	Altura acumulada (mm)	Incremento (mm)	Intervalo (min)	Lluvia del intervalo (mm)
10	12,22	12,22	0–10	2,50
20	18,33	6,11	10–20	4,08
30	22,41	4,08	20–30	12,22
40	25,49	3,08	30–40	6,11
50	27,99	2,50	40–50	3,08
60	30,10	2,11	50–60	2,11

El bloque central equivale a 73,3 mm/h, y los bloques suman los 30,10 mm de la lluvia de 60 min. El hietograma puede transformarse en caudales con un hidrograma unitario.

Limitaciones

Estacionariedad. NOAA Atlas 14 supone un clima estacionario, tras probar tendencias en sus series; NOAA Atlas 15 pasa a un supuesto no estacionario.
Cambio climático. El IPCC (2021) proyecta que la lluvia diaria extrema se intensifique cerca de 7 % por cada 1 °C de calentamiento global, con confianza alta.
Registros cortos. Con 20 o 30 años, los valores de 50 o 100 años son inciertos; NOAA Atlas 14 publica intervalos de confianza de 90 %.
Reducción areal. Las estimaciones son puntuales. Para cuencas se aplican factores de reducción areal, que dependen del área y de la duración.

Errores frecuentes

Confundir altura con intensidad: 25 mm en 40 min son 37,5 mm/h.
Extraer máximos en intervalos fijos de reloj sin corregirlos.
Entrar con la duración total de la tormenta en lugar del tiempo de concentración.
Mezclar unidades: la ecuación de Vargas usa horas; la del ejemplo y la de Dyck y Peschke, minutos.
Extrapolar la ecuación o usar coeficientes de otra región sin verificarlos.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre una curva IDF y una de altura-duración-frecuencia?

Contienen la misma información. La curva IDF expresa la lluvia como intensidad media (mm/h) y la de altura-duración-frecuencia como lámina acumulada (mm); se pasa de una a otra con la duración.

¿Conviene usar Gumbel o GEV?

Gumbel tiene dos parámetros y es la más usada en Latinoamérica. GEV agrega un parámetro de forma que representa mejor colas pesadas, pero exige más datos, por lo que NOAA lo estima regionalmente.

¿Qué hacer si solo hay datos de lluvia diaria?

Ajustar Gumbel a los máximos diarios anuales, corregir por intervalo fijo cuando corresponda y desagregar con coeficientes de la región, como los del SERVIU, los del MTC o las ecuaciones de Vargas, contrastando con el pluviógrafo más cercano.

¿Cómo se incorpora el cambio climático?

No hay un método único: desde actualizar las curvas con registros recientes y revisar tendencias hasta análisis no estacionarios como el de NOAA Atlas 15.

Fuentes

Pizarro, R. et al. (2007). Curvas intensidad-duración-frecuencia para la zona centro sur de Chile. Documento Técnico PHI-LAC N.º 7, UNESCO y Universidad de Talca. cuhs.utalca.cl
SERVIU Metropolitano (s. f.). Manual de pavimentación y aguas lluvias, cap. 5: Diseño de elementos urbanos de infraestructura de aguas lluvias. Ministerio de Vivienda y Urbanismo de Chile. pavimentacion.metropolitana.minvu.cl
Ministerio de Transportes y Comunicaciones (2011). Manual de hidrología, hidráulica y drenaje. MTC, Perú. portal.mtc.gob.pe
Echeverry, C. A. (2004). Manual de drenaje de carreteras (tesis de magíster). Universidad de los Andes. repositorio.uniandes.edu.co
Nhat, L. M., Tachikawa, Y. y Takara, K. (2006). Establishment of intensity-duration-frequency curves for precipitation in the monsoon area of Vietnam. Annuals of Disaster Prevention Research Institute, Kyoto University, 49 B. dpri.kyoto-u.ac.jp
Perica, S. et al. (2013). NOAA Atlas 14, Volume 9 Version 2.0: Precipitation-Frequency Atlas of the United States. NOAA, National Weather Service. weather.gov
NOAA Hydrometeorological Design Studies Center (s. f.). HDSC frequently asked questions. National Weather Service. weather.gov
IPCC (2021). Summary for policymakers. En Climate Change 2021: The Physical Science Basis. Cambridge University Press. ipcc.ch