Período de retorno, riesgo y análisis de frecuencia de crecidas

El período de retorno $T$ es el inverso de la probabilidad de que un caudal u otra magnitud hidrológica sea igualado o superado en un año cualquiera: la crecida de 100 años tiene una probabilidad anual de excedencia de 1 %. No indica cada cuántos años se repite la crecida; junto con la vida útil de la obra define el riesgo de falla, y se estima con un análisis de frecuencia de los caudales máximos registrados.

Definición y probabilidad de excedencia

Si $X$ es el caudal máximo de un año y $x_T$ un umbral, la probabilidad anual de excedencia $p$ y el período de retorno se relacionan así:

con $T$ en años y $p$ entre 0 y 1. Su complemento es la probabilidad de no excedencia, dada por la función de distribución acumulada $F$:

Para $T$ = 100 años, $p$ = 0,01 y $F$ = 0,99. Bulletin 17C, la guía federal de crecidas de Estados Unidos (England et al., 2019), designa los cuantiles por su probabilidad anual de excedencia, como $Q_{0{,}01}$.

Lo que no significa

$T$ es un promedio de largo plazo, no un intervalo fijo. Con años independientes, el número de excedencias en $n$ años sigue una distribución binomial y el tiempo entre excedencias es aleatorio, con media $T$. En un siglo, la crecida de 100 años tiene 36,6 % de probabilidad de no presentarse, 37,0 % de ocurrir una vez y 26,4 % de ocurrir dos o más veces. Que haya ocurrido el año pasado no cambia la probabilidad de este año. Tampoco es fijo: cambia con el registro, la distribución o la cuenca, y no coincide necesariamente con la crecida que produce la lluvia de diseño de igual período.

Riesgo de falla en la vida útil

El riesgo $R$ es la probabilidad de que la crecida de diseño se iguale o supere al menos una vez en los $n$ años de vida útil. Con años independientes y una curva de frecuencia exacta:

con $R$ entre 0 y 1, y $T$ y $n$ en años. La fórmula aparece en el manual del MTC del Perú y en Bulletin 17C, que la atribuye a Yen (1970) y Kite (1988). Riesgo en porcentaje:

Si la vida útil iguala al período de retorno, el riesgo ronda 63 %. Bulletin 17C lo ilustra con una vivienda protegida contra la crecida de probabilidad anual 0,01, que tiene 26 % de probabilidad de inundarse durante un crédito hipotecario de 30 años. Para elegir $T$ dado un riesgo admisible se despeja:

Con 50 años de vida útil, un riesgo de 10 % exige $T$ = 475 años y uno de 25 %, $T$ = 174 años, igual que la tabla 01 del MTC. Ese manual deja al propietario la definición del riesgo admisible y recomienda como máximo 25 % en 40 años para puentes. La calculadora de período de retorno y riesgo repite el cálculo.

Procedimiento de análisis de frecuencia

1. Datos: caudales máximos instantáneos anuales, con la curva de descarga revisada (ver aforo de caudales) y las crecidas históricas documentadas.
2. Análisis exploratorio: correlación serial, tendencias, quiebres, poblaciones mixtas y cambios en la cuenca.
3. Posiciones de graficación de la serie ordenada.
4. Ajuste de una o más distribuciones.
5. Verificación con pruebas de bondad de ajuste y comparación gráfica de la cola superior.
6. Cuantiles $Q_T$ con intervalos de confianza, documentando supuestos y datos excluidos.

Los cuantiles alimentan el diseño de defensas, los mapas de inundación y el tránsito de crecidas en embalses. Los caudales medios y de estiaje se analizan con la curva de duración de caudales.

Series de máximos anuales y de duración parcial

La serie de máximos anuales toma el mayor caudal instantáneo de cada año. La serie de duración parcial reúne todas las crecidas independientes sobre un caudal base, sin importar cuántas ocurran en un año. Bulletin 17C usa la serie anual para probabilidades de excedencia de 0,10 o menores, donde ambas dan estimaciones parecidas (Langbein, 1949), y reserva la parcial para crecidas menores, cuya dificultad es asegurar eventos independientes.

En la serie parcial, $T_P$ es el intervalo medio entre excedencias. NOAA Atlas 14 lo convierte con la fórmula de Langbein en probabilidad anual de excedencia y en el período equivalente de la serie anual, $T_A$:

La diferencia solo importa en períodos cortos: el evento de 2 años de la serie parcial equivale al de 2,54 años de la anual, como indica NOAA Atlas 14.

Posiciones de graficación

Para comparar datos y distribución, la serie se ordena de mayor a menor y a cada valor de rango $i$ se le asigna una probabilidad empírica de excedencia. Bulletin 17C, siguiendo a Stedinger et al. (1993), usa:

con $i$ = 1 para el mayor caudal, $n$ el número de datos y $a$ un parámetro entre 0 y 0,5; el período empírico es $1/p_i$.

Bulletin 17C recomienda Weibull por defecto y señala que las alternativas razonables cambian poco el resultado. Con 28 años, el mayor caudal recibe $T$ = 29 años: la crecida de 100 años exige extrapolar con una distribución.

Ajuste de distribuciones

Gumbel por el método de momentos

La distribución de Gumbel, o de valores extremos tipo I (Gumbel, 1958), tiene función acumulada:

con $x$ el caudal, $u$ el parámetro de posición y $\alpha$ el de escala, todos en m³/s. Con la media $\bar{x}$ y la desviación estándar muestral $s$:

Al imponer $F(x_T) = 1 - 1/T$ se obtiene la forma de factor de frecuencia de Chow, que reproduce el manual del MTC:

$K_T$ vale 1,3046, 2,5923 y 3,1367 para 10, 50 y 100 años. Gumbel tiene asimetría fija de 1,14 y representa mal series con asimetría muy distinta.

Log-Pearson III según Bulletin 17C

Bulletin 17C adopta la Log-Pearson tipo III como método base. Trabaja con $X = \log_{10} Q$, su media $\bar{X}$, su desviación estándar $S$ y la asimetría corregida por muestra pequeña:

El método, resumido:

1. Pondera la asimetría de la estación con una regional según sus errores cuadráticos medios, y pide revisar datos y cuenca si difieren en más de 0,5.
2. Detecta crecidas bajas potencialmente influyentes con la prueba múltiple de Grubbs-Beck y las trata como datos censurados.
3. Estima los parámetros con el algoritmo de momentos esperados (EMA), que incorpora crecidas históricas; sin ellas ni crecidas bajas influyentes, equivale al método de momentos.
4. Calcula $Q_T = 10^{\bar{X} + K_{G,T}\,S}$, con $K_{G,T}$ el factor de Pearson III para la asimetría $G$ y la probabilidad $1/T$.

$K_{G,T}$ proviene de la inversa de la función gamma incompleta o de tablas; con $G$ = 0 es la variable normal estándar, 2,3263 para 100 años. Bulletin 17C ya no recomienda el mapa de asimetría regional de Bulletin 17B; fuera de Estados Unidos, la asimetría regional debe estimarse con estaciones propias.

Distribución generalizada de valores extremos

La GEV agrega un parámetro de forma que admite colas más pesadas o acotadas que las de Gumbel. NOAA Atlas 14 la adoptó para lluvias máximas, con L-momentos regionales, porque dio un ajuste aceptable con más frecuencia que las otras distribuciones probadas.

Pruebas de bondad de ajuste

La prueba de Kolmogorov-Smirnov compara la distribución ajustada $F$ con la empírica, con los datos $x_{(i)}$ ordenados de menor a mayor:

La distribución se rechaza si $D$ supera el valor crítico; al 5 %, la tabla 03 del MTC da 0,26 para 25 datos y 0,24 para 30. NIST/SEMATECH advierte que esos valores dejan de ser válidos si los parámetros se estiman con la misma muestra, y que la prueba es más sensible en el centro que en las colas, donde están las crecidas de diseño.

La prueba chi-cuadrado agrupa los datos en $k$ clases y compara las frecuencias observadas $O_j$ con las esperadas $E_j$:

Se acepta si $\chi^2$ no supera el valor crítico con $\nu = k - 1 - m$ grados de libertad, siendo $m$ el número de parámetros estimados. El resultado depende de cómo se definan las clases: con 28 datos y cinco clases de igual probabilidad quedan 5,6 datos esperados por clase.

Criterio. Pasar una prueba no prueba que la distribución sea correcta; con 25 a 30 datos suelen aceptarse varias. Deciden también la norma, la coherencia regional y el ajuste gráfico de la cola.

Intervalos de confianza y longitud de registro

Otra muestra del mismo río daría otra curva. Bulletin 17C pide intervalos de confianza que incluyan la incertidumbre de la asimetría, fija un mínimo de 10 años de registro, advierte que pueden no bastar para la crecida de probabilidad 0,01 y sugiere extender los registros de menos de 20 años con una estación cercana (método MOVE). Un bootstrap paramétrico de 5.000 muestras sobre la Gumbel del ejemplo muestra cómo cambia el intervalo de 90 % de $Q_{100}$:

El ancho baja aproximadamente con la raíz de $n$: duplicar el registro no reduce la incertidumbre a la mitad.

No estacionariedad y cambio climático

El análisis supone crecidas independientes generadas por un proceso estacionario. Embalses, urbanización o incendios rompen ese supuesto, y Bulletin 17C pide usar registros de condiciones relativamente constantes. Sobre el clima, indica que, si hay evidencia suficiente para cuantificar su efecto, debe incorporarse con parámetros variables en el tiempo u otras técnicas documentadas. Milly et al. (2008) sostuvieron que la estacionariedad ya no sirve como supuesto por defecto en la gestión del agua. Conviene revisar tendencias, actualizar el análisis con años nuevos y probar la sensibilidad del diseño a caudales mayores.

Ejemplo resuelto

Datos ilustrativos: serie ficticia generada con python3, que no corresponde a ninguna estación. Son 28 caudales máximos instantáneos anuales, en m³/s, de 1995 a 2022.

Paso 1. Estadísticos. $\bar{x}$ = 245,04 m³/s, $s$ = 87,69 m³/s y asimetría 1,16. En logaritmos decimales, $\bar{X}$ = 2,3643, $S$ = 0,1496 y $G$ = 0,013.

Paso 2. Posiciones de Weibull. Con $p_i = i/29$, los tres mayores caudales, 499, 415 y 407 m³/s, reciben períodos empíricos de 29,0, 14,5 y 9,7 años.

Paso 3. Gumbel. $\alpha$ = 0,7797 × 87,69 = 68,37 m³/s y $u$ = 245,04 − 0,5772 × 68,37 = 205,6 m³/s. Para 100 años:

Paso 4. Log-Pearson III con la asimetría de la estación, $G$ = 0,013 (en un estudio real se ponderaría con la regional), y $K_{G,100}$ = 2,3356:

Coinciden porque la asimetría de los caudales, 1,16, es casi la de Gumbel, y la de los logaritmos es casi nula.

Paso 5. Bondad de ajuste.

0,250 es el crítico exacto para 28 datos; simulado para Gumbel con parámetros estimados, baja a 0,170, y ambas se siguen aceptando.

Paso 6. Incertidumbre. El intervalo de 90 % de $Q_{100}$ va de 420 a 623 m³/s con Gumbel y de 393 a 680 m³/s con Log-Pearson III, más ancho porque su tercer parámetro, la asimetría, se estima con solo 28 datos.

Paso 7. Riesgo. Para una obra de 50 años de vida útil diseñada con la crecida de 100 años:

Hay 39,5 % de probabilidad de que los 520 m³/s se superen al menos una vez. Bajar el riesgo a 10 % exige $T$ = 475 años, unos 627 m³/s con Gumbel: 16 veces el mayor período empírico del registro.

Errores frecuentes

• Leer el período de retorno como un calendario. Tras una crecida de 100 años, la probabilidad del año siguiente sigue siendo 1 %.
• Igualar período de retorno y vida útil creyendo que el riesgo es bajo. Con $T = n$ el riesgo ronda 63 %.
• Usar caudales medios diarios para diseñar un pico. El máximo medio diario es menor que el instantáneo.
• Analizar cuencas reguladas o transformadas sin tratar el registro. Un embalse o la urbanización cambian la distribución.
• Elegir la distribución solo por el menor $D$. Los valores críticos de tabla suponen parámetros conocidos y la prueba es poco sensible en la cola.
• Informar $Q_{500}$ con 25 años de datos sin intervalo de confianza. La extrapolación domina la incertidumbre.

Preguntas frecuentes

Fuentes

• England, J. F., Jr. et al. (2019). Guidelines for determining flood flow frequency: Bulletin 17C (Techniques and Methods 4-B5, versión 1.1). U.S. Geological Survey. doi.org/10.3133/tm4B5
• Chow, V. T., Maidment, D. R. y Mays, L. W. (1988). Applied hydrology. McGraw-Hill.
• Gumbel, E. J. (1958). Statistics of extremes. Columbia University Press (reimpresión Dover, 2004). archive.org
• Ministerio de Transportes y Comunicaciones del Perú (2011). Manual de hidrología, hidráulica y drenaje. portal.mtc.gob.pe
• Perica, S. et al. (2013). NOAA Atlas 14, Volume 9 Version 2.0: Precipitation-frequency atlas of the United States. NOAA, National Weather Service. weather.gov
• NIST/SEMATECH (s. f.). e-Handbook of statistical methods, secciones 1.3.5.15 y 1.3.5.16. itl.nist.gov
• Milly, P. C. D. et al. (2008). Stationarity is dead: Whither water management? Science, 319(5863), 573–574. doi.org/10.1126/science.1151915