Inicio de arrastre y transporte de fondo: Shields y Meyer-Peter-Müller aplicados

Dos preguntas gobiernan casi todo el diseño fluvial: ¿se mueve el lecho? y, si se mueve, ¿cuánto material transporta? De la primera dependen la estabilidad de un canal no revestido, el acorazamiento bajo un puente y la vida útil de una protección. De la segunda, la sedimentación de un embalse, la degradación aguas abajo de una presa y el equilibrio de un cauce intervenido.

Primera pregunta: la tensión de corte crítica

El flujo ejerce sobre el lecho una tensión de corte media:

con $R$ el radio hidráulico y $S$ la pendiente de energía. En cauces anchos, $R\approx y$ y basta el tirante. El grano empieza a moverse cuando ${\tau }_0$ supera la tensión crítica ${\tau }_c$, que se expresa adimensionalmente mediante el parámetro de Shields:

El diagrama de Shields relaciona el valor crítico ${\theta }_c$ con el número de Reynolds del grano, $R{e}_{\ast }=u_{\ast }D/\nu$, donde $u_{\ast }=\sqrt{{\tau }_0/\rho }$ es la velocidad de corte. Para el rango de interés práctico —arenas gruesas, gravas y bolones, con $R{e}_{\ast }>400$— el diagrama se aplana y se puede usar directamente:

La diferencia entre 0,047 y 0,06 no es menor: define un umbral de movimiento un 28 % distinto. En proyecto conviene usar 0,047 cuando se busca ser conservador respecto del movimiento (por ejemplo, verificar que un canal no se erosione) y 0,06 cuando se busca ser conservador respecto de la estabilidad de una protección.

Despejando, la tensión crítica y el tamaño estable resultan:

Ejemplo 1 — ¿se mueve?

Cauce de grava con $D_{50}=40$ mm, tirante $y=1,20$ m, pendiente $S=0,004$, ${\gamma }_s=26$ kN/m³.

• ${\tau }_0=9,81\times 1,20\times 0,004=0,0471$ kN/m² $=47,1$ N/m²
• ${\tau }_c=0,047\times (26-9,81)\times 0,040=0,047\times 16,19\times 0,040=0,0304$ kN/m² $=30,4$ N/m²

Como ${\tau }_0>{\tau }_c$, el lecho está en movimiento. El parámetro de Shields real vale $\theta =47,1/(16190\times 0,040)=0,0727$, es decir, un 55 % sobre el umbral.

Segunda pregunta: cuánto transporta

La ecuación de Meyer-Peter-Müller (1948) sigue siendo la referencia para transporte de fondo en lechos de grava. En forma adimensional:

donde $q_b$ es el caudal sólido de fondo por unidad de ancho, en volumen de sólidos por segundo y por metro. Tres observaciones que cambian cómo se interpreta el resultado:

• El exponente 3/2 sobre el exceso de tensión hace el transporte brutalmente no lineal. Duplicar el exceso de tensión casi triplica el caudal sólido. Por eso el balance de sedimentos anual de un río lo definen unos pocos días de crecida, no el régimen medio.
• Cerca del umbral el resultado es muy incierto. Con $\theta$ apenas sobre ${\theta }_c$, un error del 10 % en ${\theta }_c$ produce errores de cientos por ciento en $q_b$. Ahí la ecuación entrega orden de magnitud, no cifras.
• MPM da transporte de fondo, no total. En cauces arenosos la carga en suspensión suele ser 10 a 100 veces mayor. Para eso hay que ir a formulaciones de carga total (Engelund-Hansen, Ackers-White, van Rijn).

Ejemplo 2 — cuánto

Con los datos anteriores ($\theta =0,0727$, ${\theta }_c=0,047$, $D=0,040$ m):

El factor de escala: $\sqrt{(2,65-1)\times 9,81\times 0,040^3}=\sqrt{1,65\times 9,81\times 6,4\times 10^{-5}}=\sqrt{1,036\times 10^{-3}}=0,0322$ m²/s.

En un cauce de 25 m de ancho: $0,0266$ m³/s de sólidos. Con porosidad de 0,35, eso equivale a unos 0,041 m³/s de volumen de lecho, o 3.500 m³ por día si la crecida se mantiene. Un embalse aguas abajo recibiría ese material completo.

Acorazamiento: por qué el lecho se defiende solo

En un lecho de granulometría extendida, el flujo se lleva primero las partículas finas y deja en superficie las gruesas. Se forma una coraza de una o dos capas de espesor cuyo $D_{50}$ puede ser dos o tres veces el del material subyacente. Una vez formada, el lecho resiste caudales bastante mayores que los que lo erosionaron inicialmente.

Dos consecuencias prácticas:

• Un cauce natural aparentemente estable puede estarlo solo por la coraza. Si una crecida excepcional la rompe, la erosión posterior es acelerada porque debajo hay material mucho más fino.
• Aguas abajo de una presa llega agua limpia ("agua hambrienta") que erosiona sin reponer. El lecho se degrada hasta acorazarse, y en el camino baja la cota del cauce, descalza fundaciones de puentes y desconecta las tomas de riego. Es un efecto que puede propagarse decenas de kilómetros y durar décadas.

Relacionado: pérdida de capacidad de embalses por sedimentación, sedimento en suspensión y la calculadora del número de Froude.