Diámetro económico de una impulsión: fórmula de Bresse y análisis de costo total

En una tubería por gravedad, el diámetro se elige para aprovechar la carga disponible. En una impulsión no hay carga disponible: la pone la bomba y se paga en la cuenta de electricidad todos los meses durante 30 años. Un diámetro pequeño abarata la tubería pero multiplica la fricción y la energía; uno grande hace lo contrario. El óptimo está donde la suma de ambos costos es mínima, y la fórmula de Bresse es solo una estimación inicial de ese punto.

Fórmulas de prediseño

La fórmula de Bresse, para bombeo continuo:

con $D$ en m y $Q$ en m³/s. El coeficiente $K$ resume la relación entre el precio de la tubería y el de la energía; en la literatura aparecen valores entre 0,7 y 1,6, y 1,0 a 1,3 es el rango más citado. Implícitamente fija una velocidad, porque $V = 4/(\pi K^2)$: con $K = 1{,}0$ la velocidad es 1,27 m/s, con $K = 1{,}2$ baja a 0,88 m/s y con $K = 1{,}3$ a 0,75 m/s. Elegir $K$ es, en el fondo, elegir una velocidad económica sin haber mirado los precios.

Para bombeo intermitente, la práctica brasileña (ABNT) usa la expresión de Forchheimer:

Costo anual total

Para cada diámetro candidato se calcula:

con $I(D)$ la inversión en tubería, $p$ el precio de la energía y $FRC$ el factor de recuperación del capital:

La energía anual sale de la potencia y las horas de operación:

La pérdida $h_f$ se calcula con Hazen-Williams o Darcy-Weisbach, y el punto de operación real con la calculadora de bombas centrífugas.

Ejemplo resuelto

Impulsión de $Q = 60$ l/s durante 16 h/día, $L = 1.800$ m, altura geométrica $H_g = 45$ m, $C = 140$, pérdidas singulares iguales al 10 % de la fricción y rendimiento global $\eta = 0{,}70$. Evaluación a $n = 30$ años con $r = 6\%$, de donde $FRC = 0{,}0726$. Precio de la energía: 120 CLP/kWh. Costos de tubería instalada ilustrativos: 95.000, 130.000, 175.000, 225.000 y 285.000 CLP/m para 200, 250, 300, 350 y 400 mm.

Prediseño. Bresse con $K = 1{,}2$: $D = 1{,}2\sqrt{0{,}060} = 0{,}294$ m. Con $X = 16/24$, Forchheimer da $D = 1{,}3 \times 0{,}904 \times 0{,}245 = 0{,}288$ m. Ambas apuntan a 300 mm.

Para 250 mm, la fricción más un 10 % suma 10,46 m, $H = 55{,}46$ m y $P = 9{,}81 \times 0{,}060 \times 55{,}46/0{,}70 = 46{,}6$ kW, que en 16 h diarias consumen 272.300 kWh/año.

El mínimo con estos precios es 250 mm, no los 300 mm de Bresse. Pero la curva es plana cerca del óptimo: 300 mm cuesta solo un 4,5 % más al año. La decisión depende entonces de la energía. Con 180 CLP/kWh, 250 mm sigue ganando por poco (66,02 contra 66,46 MM CLP/año); con 240 CLP/kWh el óptimo pasa a 300 mm (80,99 contra 82,36 MM CLP/año). Si se espera que la energía suba, o que la demanda crezca, conviene el diámetro mayor. Además tiene menor velocidad y un golpe de ariete más moderado.

Errores frecuentes

• Tomar Bresse como diámetro final. $K$ refleja una relación de precios que probablemente no es la de tu proyecto.
• Omitir el costo del equipo. Un diámetro menor exige bombas y motores más grandes, y la tarifa eléctrica suele incluir cargos por potencia, no solo por energía.
• Olvidar la clase de presión. Con diámetros chicos la altura manométrica y la sobrepresión por golpe de ariete aumentan y la tubería requiere mayor espesor.
• Evaluar con el caudal inicial cuando la demanda crecerá durante el horizonte.
• Usar diámetros nominales en vez de interiores al calcular la fricción.

Relacionado: curva del sistema y NPSH, golpe de ariete y interés simple y compuesto.