Perfil de sedimentos en suspensión: la ecuación de Rouse y cómo interpretar el número de Rouse

Un río turbio no lleva el sedimento repartido por igual en la vertical. La arena fina se concentra cerca del fondo y el limo casi no distingue fondo de superficie. Esa diferencia decide cuánto sedimento llega a un embalse, cuánto entra por una bocatoma y, sobre todo, cuánto se mide mal cuando alguien toma un balde desde un puente. La herramienta clásica para describir ese reparto es la ecuación de Rouse (1937), que resume la competencia entre la gravedad y la turbulencia en un solo número.

Teoría: difusión turbulenta contra sedimentación

En régimen permanente, el flujo de partículas que cae por su velocidad de sedimentación $w_s$ se equilibra con el que la turbulencia sube por difusión:

Con esa difusividad parabólica, integrando desde un nivel de referencia $a$ se obtiene:

donde:

• $c_a$ es la concentración en $z = a$, habitualmente $a = 0{,}05\,h$;
• $\kappa = 0{,}41$ es la constante de von Kármán;
• $\beta \approx 1$;
• $u_* = \sqrt{g\,h\,S}$ es la velocidad de corte en un cauce ancho.

El exponente $Z$ es el número de Rouse.

Para la velocidad de sedimentación de arenas naturales conviene Ferguson y Church (2004), que empalma Stokes con el régimen turbulento:

con $R = 1{,}65$ (densidad sumergida del cuarzo), $C_1 = 18$ y $C_2 = 1{,}0$ para granos naturales.

Ejemplo resuelto

Río ancho con $h = 2{,}0$ m, $S = 0{,}001$ y agua a 20 °C ($\nu = 1{,}0 \times 10^{-6}$ m²/s). Entonces $u_* = \sqrt{9{,}81 \times 2{,}0 \times 0{,}001} = 0{,}140$ m/s, con $a = 0{,}10$ m. Para tres fracciones:

• Limo grueso, $D = 0{,}06$ mm: $w_s = 2{,}97$ mm/s y $Z = 0{,}052$.
• Arena fina, $D = 0{,}2$ mm: $w_s = 23{,}2$ mm/s y $Z = 0{,}405$.
• Arena media, $D = 0{,}5$ mm: $w_s = 71{,}0$ mm/s y $Z = 1{,}24$.

Integrando numéricamente entre $a$ y $h$, la concentración media en la vertical es 0,85 $c_a$ para el limo, 0,34 $c_a$ para la arena fina y 0,083 $c_a$ para la arena media.

Aplicación: muestra superficial. Un balde tomado 0,10 m bajo la superficie ($z = 1{,}90$ m) mide 50 mg/L de la fracción de 0,2 mm. En ese punto, $c/c_a = (0{,}10/1{,}90 \times 0{,}10/1{,}90)^{0{,}405} = 0{,}092$, de donde $c_a = 50/0{,}092 = 542$ mg/L. La media en la vertical es $0{,}336 \times 542 = 182$ mg/L: 3,6 veces lo medido. Para el limo la corrección sería mínima; para la arena media, la muestra superficial prácticamente no la ve.

En crecida el cuadro cambia. Con $h = 4{,}0$ m y la misma pendiente, $u_* = 0{,}198$ m/s y la arena de 0,5 mm pasa a $Z = 0{,}87$: entra en suspensión completa y el aporte a un embalse o a una bocatoma se multiplica.

Errores frecuentes

• Aplicar Rouse a la muestra completa: el perfil se calcula por fracción granulométrica, cada una con su $Z$.
• Tomar muestras superficiales o puntuales en ríos con arena en suspensión. Se requieren muestreadores integradores en la vertical, como los de la serie US DH.
• Calcular $u_*$ con el esfuerzo total en lechos con dunas: parte de ese esfuerzo es resistencia de forma y no mantiene sedimento en suspensión.
• Extrapolar hasta $z = 0$: la ecuación diverge. Bajo $a$ el transporte es de fondo y se calcula por separado.
• Olvidar la estratificación: con concentraciones altas la turbulencia se amortigua y el valor efectivo de $Z$ cambia.

Relacionado: qué es el sedimento en suspensión, Shields y Meyer-Peter Müller, sedimentación de embalses y aforo de caudales.