Hidrograma e hidrograma unitario: partes, SCS, Snyder y convolución

Un hidrograma es el gráfico del caudal que pasa por una sección de un cauce en función del tiempo; en una crecida muestra cómo la cuenca transforma la lluvia en escorrentía. El hidrograma unitario es la respuesta de la cuenca a una lámina unitaria de lluvia efectiva de duración $D$ repartida de manera uniforme, y permite calcular la crecida de cualquier tormenta sumando respuestas proporcionales y desfasadas.

Hidrograma y respuesta de la cuenca

El Glosario Hidrológico Internacional define el hidrograma como el gráfico de la variación temporal de una variable hidrológica: nivel, caudal, velocidad o carga de sedimentos. En crecidas se usa el hidrograma de caudales en la salida de la cuenca, medido en una estación fluviométrica o calculado con un modelo de lluvia y escorrentía.

El caudal de una crecida suma la escorrentía directa, formada por la escorrentía superficial y el flujo subsuperficial rápido, y el flujo base, que llega al cauce sobre todo desde las aguas subterráneas. Su forma refleja el tamaño, la pendiente, el almacenamiento y la urbanización de la cuenca, y la distribución de la lluvia.

Partes del hidrograma

El volumen de escorrentía directa y su lámina equivalente son:

donde $V$ es el volumen (m³), $Q_d$ el caudal de escorrentía directa (m³/s), $\Delta t$ el intervalo (s), $A$ el área (km²) y $h_e$ la lámina escurrida (mm), igual a la lluvia efectiva del número de curva u otro método de pérdidas.

Separación del flujo base

Para estudiar la escorrentía de una tormenta se resta el flujo base, que durante la crecida no se mide, así que ningún método es exacto. La HDS-2 de la FHWA describe tres opciones gráficas:

• Caudal constante: recta horizontal desde el caudal del inicio del ascenso hasta que la recesión vuelve a ese valor.
• Línea recta: une el inicio del ascenso con el punto de la recesión donde se estima que termina la escorrentía directa.
• Método convexo: prolonga la tendencia previa hasta el instante del pico y la une con el punto de inflexión de la recesión; la HDS-2 lo considera suficiente para diseño vial en cuencas pequeñas.

El fin de la escorrentía directa se ubica con la ecuación de recesión:

donde $Q_0$ es el caudal al inicio de la recesión (m³/s), $Q_t$ el caudal $t$ días después y $k$ la constante de recesión diaria, menor que 1. En escala semilogarítmica cada componente es un tramo recto y el quiebre de pendiente marca el paso al flujo base. HEC-HMS cita valores típicos de $k$ de 0,95 para agua subterránea, 0,8 a 0,9 para flujo subsuperficial y 0,3 a 0,8 para escorrentía superficial (Pilgrim y Cordery, 1992).

En series diarias largas, el programa HYSEP del USGS une los mínimos del hidrograma en intervalos de $2N^*$ días, el entero impar entre 3 y 11 más cercano a $2N$, donde $N = 0{,}827\,A^{0{,}2}$ es la duración de la escorrentía superficial en días, con $A$ en km². Para 36 km², $2N^*$ = 3 días.

Hidrograma unitario de Sherman

Sherman (1932) propuso el hidrograma unitario (HU): el hidrograma de escorrentía directa que produce una lámina unitaria de lluvia efectiva, generada con intensidad constante durante una duración $D$ y repartida uniformemente sobre la cuenca. En unidades SI la lámina es 1 mm (a veces 1 cm); el NRCS usa 1 pulgada. La duración $D$ es un parámetro: una cuenca tiene HU de 30 min, 1 h o 6 h, cada uno con su pico y tiempo base.

El método trata la cuenca como un sistema lineal e invariante en el tiempo:

• Proporcionalidad: con igual duración, el tiempo base no cambia y las ordenadas son proporcionales a la lámina de lluvia efectiva.
• Superposición: la respuesta a varios bloques es la suma de las respuestas de cada bloque, desplazadas según su inicio.
• Invariancia: la respuesta a un bloque no depende del momento en que ocurre ni de la lluvia antecedente, cuyo efecto ya se descontó en las pérdidas.

El NRCS reconoce que la linealidad no es estricta, pero mantiene la teoría como base de sus procedimientos. Con registros de pluviógrafos y de estaciones con aforo de caudales, el HU se deriva de una tormenta aislada: se separa el flujo base y se dividen las ordenadas de escorrentía directa por su lámina $h_e$.

Convolución discreta

Con la lluvia efectiva dividida en $M$ bloques de duración $D$, la superposición se escribe como la convolución discreta que usa HEC-HMS:

donde $Q_n$ es el caudal de escorrentía directa al final del intervalo $n$ (m³/s), $P_m$ la lluvia efectiva del bloque $m$ (mm) y $U_{n-m+1}$ la ordenada del HU (m³/s por mm); la suma llega hasta $n$ o hasta $M$, el menor. El intervalo del hietograma debe ser igual a $D$, y los bloques salen de la lluvia de diseño menos las pérdidas. El tiempo base resultante es el del HU más $(M-1)\,D$, y el hidrograma total se obtiene sumando el flujo base.

Cambio de duración con la curva S

Para cambiar la duración de un HU se usa la curva S, suma de infinitos HU de duración $D$ desplazados $D$ entre sí. Representa una lluvia efectiva continua de 1 mm cada $D$ horas y se estabiliza en $Q_S = 0{,}2778\,A/D$, en m³/s por mm con $A$ en km² y $D$ en h. El HU de duración $D'$ se obtiene restando la curva S desplazada $D'$ y multiplicando por $D/D'$:

En el ejemplo resuelto, la curva S tiende a 20 m³/s por mm y el HU de 1 h alcanza 2,82 m³/s por mm a las 3,0 h, un pico menor y más tardío que el de 0,5 h.

Hidrograma unitario del SCS

Sin registros se usan HU sintéticos, basados en características de la cuenca. El más difundido es el adimensional del SCS (hoy NRCS), que Victor Mockus (1957) desarrolló con hidrogramas de cuencas muy diversas, en razones $q/q_p$ y $t/T_p$.

El NEH 630 lo tabula cada 0,1 $T_p$: tiene el 37,5 % del volumen antes del pico, inflexión cerca de 1,7 $T_p$ y fin en 5 $T_p$. El triángulo equivalente, con el mismo pico y la misma fracción de volumen en la curva de ascenso, cumple:

Al igualar su área con una lámina $Q$ sobre la cuenca, $1000\,A\,Q = \tfrac{1}{2}\,q_p\,(T_p + T_r) \times 3600$, se obtiene:

con $q_p$ en m³/s, $A$ en km², $Q$ en mm y $T_p$ en h. El 0,208 es la versión métrica del factor de caudal pico (PRF) 484 del NRCS, que usa pies cúbicos por segundo, millas cuadradas y pulgadas; con $Q$ en cm vale 2,08. El tiempo al pico es:

donde $\Delta D$ es la duración de la lluvia efectiva y $T_c$ el tiempo de concentración, ambos en h. Con la posición de la inflexión ($T_c + \Delta D = 1{,}7\,T_p$) el NRCS deduce $\Delta D = 0{,}133\,T_c \approx 0{,}2\,T_p$ y $T_p \approx 0{,}667\,T_c$; $\Delta D$ no debe superar 0,25 $T_p$. El PRF tampoco es universal: el NEH 630 informa desde menos de 100 en terrenos planos y pantanosos hasta más de 600 en los empinados.

Hidrograma unitario de Snyder

Snyder (1938) derivó relaciones empíricas en cuencas de los montes Apalaches. En unidades SI, según la HDS-2, el retardo, la duración estándar, el ajuste del retardo y el caudal pico son:

donde $t_L$ es el retardo desde el centroide de la lluvia efectiva hasta el pico (h), $L$ la longitud del cauce principal hasta la divisoria (km), $L_c$ la longitud por el cauce hasta el punto más próximo al centroide (km), $t_R'$ la duración deseada (h), $q_p$ el caudal pico (m³/s por mm), $A$ el área (km²), y $C_t$ y $C_p$ coeficientes regionales. El HU se dibuja con esos valores y se ajusta hasta que encierre 1 mm.

Snyder obtuvo $C_t$ entre 1,8 y 2,2, con extremos posteriores de 0,4 en zonas montañosas y 8,0 en la costa del golfo de México; $C_p$ varía de 0,4 a 0,8 según HEC-HMS (Bedient y Huber, 1992) y hasta 0,94 según la HDS-2. En la cuenca del ejemplo, con $L$ = 12 km, $L_c$ = 5,5 km, $C_t$ = 1,8 y $C_p$ = 0,6, resultan $t_L$ = 4,7 h y $q_p$ = 1,28 m³/s por mm, frente a 2,25 h y 3,00 m³/s por mm del SCS.

Elección del método y HEC-HMS

HEC-HMS agrupa sus HU sintéticos en tres familias: los que relacionan el HU con características de la cuenca (Snyder), los adimensionales (SCS) y los de almacenamiento (Clark y ModClark). El SCS usa el retardo y admite el PRF 484 u otros entre 100 y 600; para Snyder, el programa ajusta por optimización un HU de Clark equivalente, que combina un histograma tiempo-área con un embalse lineal. El triángulo del SCS sirve para cálculos manuales; los programas usan la curva adimensional.

El método racional es otro procedimiento: estima solo el caudal pico de cuencas pequeñas, sin hidrograma, y no deriva del HU. Para llevar el hidrograma a través de un embalse se usa un tránsito, como el de Puls modificado.

Ejemplo resuelto

Una cuenca no aforada de 36 km² tiene $T_c$ = 3,75 h. La lluvia efectiva de diseño, ya descontadas las pérdidas, cae en tres bloques de 30 min con 5, 15 y 8 mm, y el flujo base es de 2,0 m³/s. Se calcula el hidrograma con el HU triangular del SCS.

1. Parámetros.

2. Convolución. La curva de ascenso vale $U = q_p\,t/T_p$ y la recesión $U = q_p\,(T_b - t)/(T_b - T_p)$. Cada columna es un bloque por el HU desplazado.

3. Volumen del HU. El triángulo encierra 0,5 × 3,00 m³/s × 6,667 h × 3.600 s/h = 36.000 m³, igual a 1 mm sobre 36 km² (1.000 × 36 × 1 m³). Con las ordenadas tabuladas, 20,04 m³/s × 1.800 s = 36.072 m³ (1,002 mm); la diferencia de 0,2 % se debe a que el fin del triángulo cae entre dos lecturas.

4. Resultado. El pico de escorrentía directa es de 77,4 m³/s a las 3,0 h del inicio de la lluvia efectiva y, con el flujo base, llega a 79,4 m³/s. El volumen, 561,12 m³/s × 1.800 s = 1.010.016 m³, equivale a 28,06 mm, frente a los 28 mm de lluvia efectiva. Concentrados en un solo bloque, los 28 mm darían 84,0 m³/s. Con la curva adimensional del NEH 630, el pico sería de 81,3 m³/s a las 3,0 h, un 5,0 % mayor que con el triángulo.

Errores frecuentes

• Definir el HU como la respuesta a «1 mm en 1 hora» y asociarlo al método racional. La duración $D$ es un parámetro, y el método racional no deriva del HU.
• Convolucionar la lluvia total. El HU se aplica a la lluvia efectiva, después de descontar las pérdidas.
• Derivar un HU sin separar el flujo base. Las ordenadas y el volumen quedan sobrestimados.
• Usar un intervalo distinto de la duración del HU. Un HU de 1 h exige convertirlo con la curva S para bloques de 15 min.
• Usar $T_c$ como tiempo al pico. Con $\Delta D = 0{,}133\,T_c$ resulta $T_p \approx 0{,}667\,T_c$; confundirlos reduce el pico en un tercio.
• Mezclar unidades o regiones. El 484 es para unidades inglesas y el 0,208 para m³/s, km² y mm; $C_t$ y $C_p$ se calibran en cada región.

Preguntas frecuentes

Fuentes

• Sherman, L. K. (1932). Streamflow from rainfall by the unit-graph method. Engineering News-Record, 108, 501-505.
• Snyder, F. F. (1938). Synthetic unit-graphs. Transactions, American Geophysical Union, 19(1), 447-454. doi.org/10.1029/TR019i001p00447
• USDA-NRCS (2007). National Engineering Handbook, Part 630 Hydrology, Chapter 16: Hydrographs. irrigationtoolbox.com
• US Army Corps of Engineers, Hydrologic Engineering Center. HEC-HMS Technical Reference Manual: Transform y Baseflow. hec.usace.army.mil
• Federal Highway Administration (2002). Highway Hydrology, Hydraulic Design Series 2 (2.ª ed., FHWA-NHI-02-001). fhwa.dot.gov
• Sloto, R. A. y Crouse, M. Y. (1996). HYSEP: A computer program for streamflow hydrograph separation and analysis (Water-Resources Investigations Report 96-4040). U.S. Geological Survey. pubs.usgs.gov
• Organización Meteorológica Mundial y UNESCO (2012). Glosario Hidrológico Internacional (OMM-N.° 385). library.wmo.int
• Chow, V. T., Maidment, D. R. y Mays, L. W. (1988). Applied Hydrology. McGraw-Hill.