Curva hipsométrica y morfometría de cuencas: red de drenaje y forma

La curva hipsométrica es la gráfica que relaciona cada altitud de una cuenca con el área que queda por encima de esa cota; su integral resume la etapa de desarrollo erosivo del relieve. Es uno de los descriptores de la morfometría de cuencas, el conjunto de parámetros que miden la forma, la red de drenaje y el relieve, y que permiten anticipar la respuesta a la lluvia antes de tener registros de caudal.

Morfometría de la cuenca

La morfometría parte de una cuenca delimitada hasta su punto de salida (vea la cuenca hidrográfica y sus tipos), sobre la que se miden el área $A$, el perímetro $P$ y una longitud, axial o del cauce principal. Con ellas y con la red de cauces se calculan tres grupos de parámetros:

Estos parámetros alimentan fórmulas de tiempo de concentración, pero dependen de la escala o de la resolución del DEM: solo son comparables si se obtienen con la misma fuente y el mismo método.

Parámetros de forma: Gravelius y Horton

El coeficiente de compacidad de Gravelius compara el perímetro de la cuenca con el de un círculo de igual área, que mide $2\sqrt{\pi A}$:

con $P$ en km y $A$ en km². Vale 1 para un círculo y nunca es menor. Según Camino et al. (2018), cuanto más se acerca a 1, mayor es la tendencia a concentrar grandes volúmenes de escurrimiento; hacia 1,75 las cuencas son alargadas, y los valores superiores corresponden a cuencas irregulares con menor peligrosidad de crecidas.

El factor de forma de Horton relaciona el área con el cuadrado de la longitud axial $L_a$:

Un factor bajo indica una cuenca alargada, con menos probabilidad de recibir una lluvia intensa sobre toda su superficie y crecidas menores que otra de igual área. Como referencia, un cuadrado medido por su lado da 1 y un círculo medido por su diámetro, $\pi/4 \approx 0{,}785$.

En el plan de ordenación del río Prado (Tolima, Colombia), Cortolima reporta 1.698,3 km², 210,3 km de perímetro, un factor de forma de 0,1760 y un $K_c$ de 1,441, que interpreta como forma oval oblonga con torrencialidad ligera; recalculado con esos datos, $K_c = 1{,}439$.

Red de drenaje y sus patrones

La red de drenaje es el conjunto de cauces por los que el agua llega a la salida, desde las nacientes hasta el cauce principal. Incluye cauces perennes, intermitentes y efímeros: Horton (1945) advirtió que los dos últimos transportan las crecidas, que hacen la mayor parte del trabajo de formación de valles.

En ingeniería sanitaria y vial, «red de drenaje» designa además la infraestructura que conduce las aguas lluvias: sumideros, colectores, cámaras de inspección y estaciones de bombeo. Su diseño se trata en drenaje pluvial urbano con el método racional; aquí se estudia la red natural, cuyos patrones en planta reflejan la roca, la estructura y la pendiente (Ritter):

Orden de corrientes de Horton y Strahler

Horton (1945) numeró los cauces desde las nacientes: los tributarios sin ramificaciones son de orden 1, los que reciben solo afluentes de orden 1 son de orden 2, y así sucesivamente. Invirtió el sistema europeo de Gravelius (1914), que daba el orden 1 al río principal. En el esquema de Horton el cauce principal lleva el orden más alto en toda su longitud, hasta la naciente, y Horton dio reglas geométricas para decidir qué rama de cada bifurcación lo continúa.

Strahler (1957) trabaja con tramos entre confluencias y no reasigna órdenes:

• Todo tramo sin afluentes es de orden 1.
• La unión de dos tramos de orden $u$ forma un tramo de orden $u+1$.
• La unión de tramos de órdenes distintos conserva el orden mayor.

Así, un cauce de orden 2 que recibe diez afluentes de orden 1 sigue siendo de orden 2. Los tramos de orden 1, los más numerosos, ocupan las cabeceras de cuenca. El orden depende de la escala: Strahler (1957) señaló que las inflexiones de las curvas de nivel revelan cauces demasiado pequeños para dibujarse en el mapa. En un DEM, el umbral de acumulación cumple ese papel.

Relación de bifurcación y ley del número de corrientes

La relación de bifurcación es el cociente entre el número de cauces de un orden y el del orden siguiente:

donde $N_u$ es el número de tramos de orden $u$. La ley del número de corrientes de Horton (1945) establece que esos números forman una serie geométrica inversa de razón $R_b$:

con $s$ el orden del cauce principal, de modo que $N_s = 1$. Como los cocientes varían entre órdenes, Strahler (1957) ajusta una recta al logaritmo del número de cauces: si $\log N_u = a - b\,u$, entonces $R_b = 10^{b}$. Según Summerfield (1991), citado por Camino et al. (2018), en litología homogénea $R_b$ rara vez sale de 3 a 5, y en cuencas muy alargadas con rocas contrastantes puede superar 10.

Densidad de drenaje y frecuencia de cauces

La densidad de drenaje, definida por Horton, es la longitud total de cauces por unidad de área:

donde $L$ es la suma de las longitudes de los cauces de todos los órdenes, en km, y $A$ el área, en km²; $D_d$ resulta en km/km². Horton comparó dos cuencas pequeñas, una mal drenada con 2,74 y otra bien drenada con 0,73. Strahler (1957) observó densidades bajas en areniscas masivas y resistentes y muy altas en tierras de cárcavas. Una densidad mayor implica un tiempo de escorrentía menor (Camino et al., 2018). Horton la vinculó con la longitud del escurrimiento superficial $l_o$, la distancia media que recorre el agua por las laderas antes de llegar a un cauce:

La frecuencia de cauces es el número total de cauces por unidad de área, en cauces/km²:

Horton advirtió que ni $D_d$ ni $F_s$ son directamente comparables entre cuencas de tamaños muy distintos.

Ejemplo resuelto de red de drenaje y forma

La cuenca de 48,5 km² que se usa más adelante para la curva hipsométrica tiene 34,2 km de perímetro y 11,6 km de longitud axial. Sobre su red se asignaron órdenes de Strahler y se midieron longitudes; los cálculos se hicieron con python3.

La cuenca es de orden 4. El promedio de los cocientes es 2,94, pero el último se apoya en solo dos cauces y uno. La regresión de $\log N_u$ sobre $u$ da $b = 0{,}456$ y $R_b = 10^{0{,}456} = 2{,}86$; la ley de Horton predice entonces $N_1 = 2{,}86^{3} = 23{,}4$, muy cerca de los 23 contados.

La longitud del escurrimiento superficial es $l_o \approx 1/(2 \times 1{,}254) = 0{,}40$ km. Para la forma:

Con un $K_c$ de 1,39, lejos de 1,75, la cuenca conserva una tendencia apreciable a concentrar la crecida.

Curva hipsométrica

Si se recorre una cuenca desde la cumbre hasta la salida, en cada cota se puede medir qué parte de la superficie queda sobre ella: cero en la cumbre y 100 % en la salida. Al unir esos puntos, con la altitud en el eje vertical y el área acumulada en el horizontal, se obtiene la curva hipsométrica. La versión absoluta usa m s. n. m. y km², y sirve, por ejemplo, para saber cuánta superficie queda sobre la línea de nieves. La relativa, propuesta por Strahler (1952), usa $h/H$ contra $a/A$, ambas entre 0 y 1, y permite comparar cuencas de distinto tamaño.

En la figura, la curva A tiene cerca del 20 % del área sobre 0,9 de la altura relativa: mucho relieve por erosionar. La curva C concentra su superficie en cotas bajas.

Para construirla se delimita la cuenca, se recorta el DEM (vea cómo descargar SRTM o ASTER GDEM), se definen bandas de altitud de intervalo constante, se mide el área $a_i$ de cada banda y se acumula desde arriba. La curva relativa usa:

La altitud media se pondera por área, con $C_i$ la cota media de la banda $i$ en m y $a_i$ su área en km²:

La altitud mediana deja el 50 % del área por encima y se lee en la curva.

Integral hipsométrica e interpretación de Strahler

La integral hipsométrica ($HI$) es el área bajo la curva relativa, un número entre 0 y 1:

Pike y Wilson (1971), citados en un estudio de Frontiers in Earth Science (2022), la estiman con la razón elevación-relieve:

Strahler (1952) relacionó la forma de la curva con la etapa del ciclo de erosión. Los umbrales habituales, recogidos en ese estudio, son:

La integral depende de la resolución del DEM, del intervalo de las bandas y de la divisoria, y debe leerse junto con la geología y el clima. La curva sirve además para zonificar la cuenca en alta, media y baja y para comparar el potencial de erosión hídrica.

Ejemplo resuelto de curva hipsométrica

La cuenca de 48,5 km², con cotas entre 1.200 y 2.800 m s. n. m., se dividió en ocho bandas de 200 m; las áreas se midieron sobre el DEM y el resto se calculó con python3:

Con $H = 1.600$ m, la integral por la regla del trapecio, con $x = a/A$ e $y = h/H$, es:

La altitud media ponderada es $\bar{H} = 1.903{,}3$ m y la razón elevación-relieve da $(1.903{,}3 - 1.200)/1.600 = 0{,}440$: con bandas representadas por su cota media, ambos cálculos son algebraicamente idénticos. La mediana, interpolada en la banda de 1.800 a 2.000 m, es de unos 1.888 m. Con $HI = 0{,}44$ la curva tiene forma de S y la cuenca está en etapa madura según Strahler.

Cálculo en QGIS y en hoja de cálculo

En QGIS (vea cómo descargarlo), el algoritmo Hypsometric curves de Procesos, en Raster terrain analysis, pide el DEM, la capa de polígonos de las cuencas, el intervalo vertical (Step, 100 por defecto) y si el área va en porcentaje, y entrega un CSV por polígono. Otra vía es agrupar cotas con Reclassify by table y obtener el área de cada banda con Raster layer unique values report; Zonal histogram hace el conteo para varias cuencas. Use un DEM proyectado.

En una hoja de cálculo, con las bandas en las filas 2 a 9 y la cota máxima con área cero en la fila 10: el área de cada banda va en B; en C10 se escribe 0 y en C9 =B9+C10, copiada hacia arriba; D y E guardan $a/A$ y $h/H$, y la integral es

.

Errores frecuentes

• Mezclar los órdenes de Horton y de Strahler. En Horton el cauce principal conserva el orden mayor hasta la naciente, así que los conteos por orden y la $R_b$ no coinciden.
• Comparar órdenes o densidades obtenidos a distinta escala. Una carta más detallada o un umbral menor agrega cauces de orden 1 y puede subir el orden de la cuenca.
• Calcular $R_b$ con un solo par de órdenes. Los órdenes altos tienen uno o dos cauces; conviene la regresión de $\log N_u$ sobre $u$.
• Medir la densidad solo con cauces perennes. Horton exige incluir intermitentes y efímeros; si no, una cuenca árida con red desarrollada tendría densidad cero.
• Medir el perímetro sobre el borde escalonado del ráster. Un círculo de 48,5 km² rasterizado con celdas de 30 m da, según python3, 31,4 km de perímetro en vez de 24,7 km y un $K_c$ de 1,27 en vez de 1.
• Comparar integrales hipsométricas calculadas con distinto DEM o intervalo. El resultado depende del procedimiento tanto como del relieve.

Preguntas frecuentes

Fuentes

• Camino, M. A., Bó, M. J., Cionchi, J. L., Del Río, J. L., López de Armentia, A. y De Marco, S. G. (2018). Estudio morfométrico de las cuencas de drenaje de la vertiente sur del sudeste de la provincia de Buenos Aires. Revista Universitaria de Geografía, 27(1).
• Cortolima. (s. f.). POMCA del río Prado: estudio morfométrico.
• Horton, R. E. (1945). Erosional development of streams and their drainage basins: Hydrophysical approach to quantitative morphology. Geological Society of America Bulletin, 56(3), 275–370.
• Ritter, M. E. (s. f.). The Physical Environment: The Stream System. LibreTexts.
• Strahler, A. N. (1952). Hypsometric (area-altitude) analysis of erosional topography. Geological Society of America Bulletin, 63, 1117–1142.
• Strahler, A. N. (1957). Quantitative analysis of watershed geomorphology. Transactions, American Geophysical Union, 38(6), 913–920.
• Frontiers in Earth Science. (2022). The hypsometric integral based on digital elevation model for the area west of Lvliang Mountains in Loess Plateau, Shanxi, China.
• QGIS. (s. f.). Manual de usuario: Raster terrain analysis y Raster analysis.