Distribución Log-Pearson III para caudales máximos: asimetría, factor K y ejemplo completo

La distribución de Gumbel es la más usada en Chile para crecidas, en buena parte por su sencillez. Pero tiene una restricción que rara vez se menciona: su coeficiente de asimetría es fijo, cercano a 1,14. Si la serie real es más o menos asimétrica, Gumbel extrapola mal justo donde importa, en los períodos de retorno largos. Log-Pearson III agrega un parámetro de forma que se estima con los datos, y por eso es la distribución de referencia en Estados Unidos desde el Bulletin 17B y su actualización, el Bulletin 17C del USGS (2018). En la práctica chilena lo habitual es ajustar varias distribuciones y elegir por bondad de ajuste, y Log-Pearson III debería estar siempre entre ellas.

Procedimiento

Se trabaja con los logaritmos de los $n$ caudales máximos anuales, $y_i = \log_{10} Q_i$, y se calculan tres estadígrafos:

El caudal de período de retorno $T$ es:

El factor de frecuencia $K_T$ depende de $T$ y de $C_s$. Se lee en tablas o se aproxima con la fórmula de Wilson-Hilferty, muy precisa para asimetrías moderadas:

donde $z$ es la variable normal estándar con probabilidad de no excedencia $1 - 1/T$. Con $C_s = 0$ la distribución se reduce a la log-normal y $K_T = z$.

Ejemplo resuelto

Serie de 20 caudales máximos anuales (m³/s): 142, 88, 265, 63, 198, 121, 410, 95, 76, 233, 154, 58, 312, 109, 187, 71, 138, 520, 99 y 176.

Con los logaritmos en base 10: $\bar{y} = 2{,}1620$, $s_y = 0{,}2681$ y $C_s = 0{,}43$. Para $T = 100$ años, $z = 2{,}326$ y el factor exacto es $K_{100} = 2{,}638$ (Wilson-Hilferty da 2,640):

Repitiendo para otros períodos: $Q_2 = 139$ ($K = -0{,}072$), $Q_{10} = 328$ ($K = 1{,}319$), $Q_{25} = 466$ ($K = 1{,}890$) y $Q_{50} = 592$ m³/s ($K = 2{,}277$).

Comparación con Gumbel. Con media 175,8 m³/s, desviación 121,8 m³/s y $K_{100} = 3{,}137$ por el método de momentos, Gumbel entrega $Q_{100} = 558$ m³/s. Log-Pearson III da un 33 % más. Ninguno es "el correcto" a priori: la decisión se toma con pruebas de bondad de ajuste y mirando el gráfico de probabilidad en la cola superior.

Control con la posición de graficación. El mayor caudal registrado, 520 m³/s, tiene según Weibull un período $T = (n+1)/m = 21/1 = 21$ años. Para ese período Log-Pearson III da 438 m³/s y Gumbel 408 m³/s. Ambas quedan bajo el dato, pero Log-Pearson III se acerca más, señal de una cola superior pesada en la que Gumbel es la opción menos adecuada. Es una sola observación con mucha incertidumbre: sirve como alerta, no como prueba.

Sensibilidad a la asimetría. Con 20 años, $C_s$ es muy incierto. Si fuera 0,13 en vez de 0,43, $Q_{100}$ bajaría a 648 m³/s; si fuera 0,73, subiría a 841 m³/s. Por eso el Bulletin 17C recomienda ponderar la asimetría de la estación con una asimetría regional. Una vez adoptado el caudal, el riesgo de que sea superado durante la vida útil se obtiene con la calculadora de período de retorno y riesgo.

Errores frecuentes

• Calcular la asimetría de los caudales y no de sus logaritmos. Da un $C_s$ mucho mayor y un $Q_{100}$ inflado.
• Mezclar poblaciones. En Chile central muchas series combinan crecidas pluviales de invierno y nivales de primavera; ajustar una sola distribución a ambas deforma la cola.
• Ignorar los valores atípicos bajos. Años muy secos alteran $C_s$ en logaritmos; el Bulletin 17C incluye una prueba específica para detectarlos.
• Extrapolar sin pudor. Con 20 años de registro, un $Q_{500}$ es más supuesto que dato.
• Olvidar el límite superior con $C_s$ negativo. La distribución queda acotada y puede subestimar eventos extremos.

Relacionado: análisis de frecuencia con Gumbel, qué es el período de retorno y curva de duración de caudales.